Pytagoras zo Samu/zo Samosu

alebo Pýthagorás zo Samu/Samosu alebo Pythagoras zo Samu/zo Samosu (asi 580 pred Kr. - asi 572 pred Kr. až 496 pred Kr.) bol starogréckyfilozof, nábožensko-morálny reformátor, matematik, astronóm, akustik. V juhotalianskom meste Krotón založil vlastnú školu, ktorá bola zároveň aj náboženským spolkom.

Podstatou všetkého je podľa Pytagora číslo. Číslo je princíp, ktorý dáva veciam určitosť, jasnosť, poznateľnosť. Čísla sú aj symbolom etických hodnôt a vzťahu medzi ľuďmi.

Pytagorova veta:

Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany pravouhlého trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto: obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

 

Archimedes zo Syrakúz

alebo Archimédes zo Syrakúzy alebo Archimédés zo Syrakúz (po grécky Αρχιμήδης, po latinsky Archimedes; * okolo 287 pred Kr. Syrakúzy, Sicília – †212 pred Kr., Syrakúzy) bol grécky matematik, fyzik, mechanik, vynálezca, astronóm a filozof. Patril k najvýznamnejším matematikom staroveku. Bol zabitý rímskym vojakom pri obrane Syrakúz.

Prínos:

• Archimedov zákon

• výpočet obsahu, ťažiska a objemu plôch a telies za pomoci Eudoxovej tzv. exhaustívnej metódy (na rozdiel od neskoršieho infinitezimálneho počtu)

• pomocou kvadratúry kruhu objavil hranice, medzi ktorými je číslo pí (22/7 a 223/71)

• Archimedova špirála

• Archimedovské teleso (trinásť telies, ktoré sú vždy ohraničené pravidelnými mnohouholníkmi dvoch rôznych druhov alebo ktoré sú ohraničené troma rôznymi druhmi mnohouholníkov)

 

René Descartes

známy aj ako Cartesius (* 31. marec 1596, La Haye, Francúzsko – † 11. február 1650, Štokholm, Švédsko) bol francúzsky filozof, matematik predstaviteľ racionalizmu, špeciálnovedný bádateľ vo viacerých prírodovedných odboroch. Hlboko ovplyvnil celú novovekú vedu.

Postupom od metodického pochybovania k nepochybnému Cogito ergo sum (Myslím, teda som) začal obrat k subjektu, k vlastnej filozofii Ja. Descartes sa tým stal predovšetkým priekopníkom v oblasti kritiky poznania.

Jeho cieľom bolo založiť jednotnú vedu na matematickej báze. Descartes rozpracoval metódu získavania vedeckých poznatkov alebo racionálne zdôvodneného názoru: išlo tu o heuristickú metódu alebo výskumnú techniku (ars inveniendi = umenie objavovať), ktorá spočíva v postupnosti krokov zameraných na riešenie bádateľských problémov (v matematike, prírodných vedách, náboženstve i etike). Táto Descartova metóda kombinuje analýzu a syntézu, pričom analýza predstavuje rozklad problému alebo zložitého predmetu na jeho najmenšie, intuitívne rozoznateľné súčasti a syntéza ho rekonštruuje pomocou prísne logických operácii (dedukcie). Sledujúc pravidlá tejto metódy, Descartes hľadá posledné, základné, večné pravdy. Existencia týchto právd je podľa Descarta daná pravdugarantujúcim bohom (veracitas Dei). Sú však vlastnosti tohto boha nepochybné? V čom môže spočívať istota môjho poznania? Descartes radikalizoval svoju skepsu (pochybovanie) až k - podľa neho - nepochybnému, evidentnému východisku, ktoré sformuloval vo vete, ktorú by sme po slovensky mohli vyjadriť takto: Myslím, teda som (Cogito, ergo sum).

Rozmanitosť vecí - častí celku nie je podla Descarta (podobne ako podľa atomistov) výsledkom kvalitatívnych zmien. Ich kvalitatívnu rozmanitosť chápe ako výraz kvantitatívnej mnohotvárnosti. Preto napr. zviera chápal ako mechanický stroj.

V matematike zaviedol pojem premennej, funkcie, sústavu súradníc (tzv. karteziánsku) a založil analytickú geometriu.

 

Leonhard Paul Euler

 

(čítaj Ojler) (* 15. apríl 1707, Bazilej, Švajčiarsko – † 18. september 1783, Petrohrad, Rusko) bol švajčiarsky matematik a fyzik, ktorý prežil väčšinu svojho života v Rusku a Nemecku.

Urobil dôležité zistenia v oblastiach tak rozmanitých, ako je diferenciálny a integrálny počet a teória grafov. Zaviedol aj veľkú časť matematickej terminológie a označenia, obzvlášť v matematickej analýze, ako napríklad zápis matematickej funkcie. Preslávila ho aj práca v oblasti mechaniky, optiky a astronómie.

Považuje sa za popredného matematika 18. storočia a jedného z najväčších matematikov všetkých čias. Bol aj jedným z najproduktívnejších; jeho súborné dielo tvorí 60 – 80 zväzkov. Vyhlásenie pripisované Pierreovi-Simonovi Laplaceovi vyjadruje Eulerov vplyv na matematiku: „Čítajte Eulera, čítajte Eulera, on je majster (učiteľ) nás všetkých.“

Figuroval na šiestich sériách Švajčiarskej 10-frankovej bankovky a na mnohých švajčiarskych, nemeckých a ruských poštových známkach. Asteroid 2002 Euler bol pomenovaný na jeho počesť. Podľa Kalendára svätých Evanjelickej cirkvi si Eulera pripomínajú 24. mája – bol zástancom biblickej neomylnosti, písal apologetiky a argumentoval proti prominentným ateistom svojich čias.

 Prínos pre matematiku

Euler pracoval takmer vo všetkých oblastiach matematiky: v oblasti geometrie, diferenciálneho a integrálneho počtu, trigonometrie, algebry a teórie čísel ako aj v oblasti fyziky kontinua, lunárnej teórie a v ďalších oblastiach fyziky. Je vplyvnou osobnosťou v histórii matematiky. Jeho vytlačené práce, z ktorých veľa má zásadný význam, tvoria niečo medzi 60 až 80 husto písaných zväzkov a jeho meno sa spája s veľkým množstvom tém.

 Matematický zápis

Euler zaviedol a popularizoval niekoľko konvencií v označovaní vo svojich početných a široko kolujúcich učebniciach. Predovšetkým zaviedol pojem funkcie a ako prvý začal písať f(x), čo označuje funkciu f aplikovanú na argument x. Taktiež zaviedol moderné označovanie trigonometrických funkcií, písmeno e pre základ prirodzeného logaritmu (teraz tiež známe aj ako Eulerovo číslo), grécke písmeno Σ pre sčitovanie a písmeno i pre označenieimaginárnej jednotky. Euler propagoval aj používanie gréckeho písmena π na označenie pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru aj napriek tomu, že nepochádzalo od neho.

 Analýza

Vývoj diferenciálneho a integrálneho počtu bol v popredí matematického bádania 18. storočia a Bernoulliovci, rodinní priatelia Eulera, boli zodpovední za veľkú časť skorého pokroku v tejto oblasti. Vďaka ich vplyvu sa štúdium diferenciálneho a integrálneho počtu stalo hlavným zameraním Eulerovej práce. Zatiaľ čo niektoré Eulerove dôkazy nie sú prijateľné modernými normami matematickej presnosti, jeho myšlienky viedli k mnohým veľký pokrokom. Euler je dobre známy v analýze pre jeho časté využívanie a rozvoj mocninových radov, vyjadrenie funkcií ako súčtu nekonečne veľa výrazov, ako napríklad

.

Euler predovšetkým objavil rozvoj mocninových radov pre e a pre funkciu inverznú k funkcii tangens. Jeho odvážne (a podľa moderných noriem technicky nesprávne) použitie mocninových radov mu umožnilo vyriešiť slávny Bazilejský problém v roku 1735:

.

Euler zaviedol používanie exponenciálnej funkcie a logaritmov v analytických dôkazoch. Objavil spôsoby ako vyjadriť rôzne logaritmické funkcie použitím mocninových radov a úspešne definoval logaritmy pre záporné akomplexné čísla, čo značne rozšírilo oblasť matematickej aplikácie logaritmov. Definoval aj exponenciálnu funkciu pre komplexné čísla a objavil jej vzťah k trigonometrickým funkciám. Eulerov vzorec hovorí, že komplexná exponenciálna funkcia spĺňa pre ľubovoľné reálne číslo φ tento vzťah

.

Špeciálny prípad vyššie uvedeného vzorca je známy ako Eulerova identita,

,

nazvaný Richardom Feynmanom „najpozoruhodnejším vzorcom v matematike”, pre jeho jedinečné použitie sčítania, násobenia, umocňovania a rovnosti, ako aj jedinečné použitie dôležitých konštánt 0, 1, e, i a π. Čitatelia časopisu Mathematical Intelligencer v roku 1988 hlasovali za „najkrajší matematický vzorec“. Euler bol zodpovedný celkom za tri z piatich najvyššie umiestnených vzorcov v tejto ankete.

De Moivreov vzorec je priamym dôsledkom Eulerovho vzorca.

Navyše, Euler spracoval teóriu vyšších transcendentných funkcií zavedením gama funkcie a zaviedol aj novú metódu pre riešenie rovníc štvrtého stupňa. Našiel aj spôsob ako počítať integrály s komplexnými hranicami predznačujúc vývoj modernej komplexnej analýzy a vynašiel variačný počet vrátane jeho najznámejšieho výsledku, Eulerovej-Lagrangeovej rovnice.

Euler bol tiež priekopníkom v používaní analytických metód na riešenie problémov v teórii čísel. Spojil dve rozličné odvetvia matematiky a zaviedol nový odbor štúdia, analytickú teóriu čísel. Prelomom do tohto nového odboru bola Eulerom vytvorená teória hypergeometrických radov, q-radov, hyperbolických trigonometrických funkcií a analytickej teórie reťazových zlomkov .Napríklad využitím divergencie harmonických radov dokázal nekonečnosť prvočísel a použil analytické metódy na to, aby dosiahol isté porozumenie rozmiestnenia prvočísel. Eulerova práca v tejto oblasti viedla k prvočíselnej vete.

 Teória čísel

Eulerov záujem o teóriu čísel možno pripísať vplyvu Christiana Goldbacha, jeho priateľa z Petrohradskej akadémie. Mnohé z Eulerových raných prác v teórií čísel bolo založených na prácach Pierra Fermata. Euler niektoré Fermatove myšlienky rozvinul a niektoré jeho hypotézy vyvrátil.

Euler prepojil podstatu rozmiestnenia prvočísel s myšlienkami v analýze. Dokázal, že súčet recipročných čísel k prvočíslam diverguje. Zároveň objavil vzťah medzi Riemannovou zeta funkciou a prvočíslami; ten je známy ako Eulerov súčinový vzorec pre Riemannovu zeta funkciu.

Euler dokázal Newtonove rovnosti (známe tiež ako Newtonove-Girardove vzorce), Malú Fermatovu vetu, Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov a prispel k Lagrangovej vete o štyroch štvorcoch. Zaviedol aj funkciu φ(n), ktorá označuje počet prirodzených čísel menších ako číslo n, ktoré sú nesúdeliteľné s číslom n. Využitím vlastností tejto funkcie zovšeobecnil Malú Fermatovu vetu na vetu, ktorá je známa ako Eulerova veta. Výrazne prispel k teóriidokonalých čísel, ktorá fascinovala matematikov od čias Euklida. Euler sa priblížil aj k prvočíselnej vete a predpokladal zákon reciprocity kvadratických zvyškov. Tieto dva fakty sú považované za základné vety teórie čísel a jeho myšlienky vydláždili cestu pre prácu Carla Friedricha Gaussa.

V roku 1772 Euler dokázal, že 2³¹ − 1 = 2 147 483 647 je Mersennovo prvočíslo. Až do roku 1867 ostalo najväčším známym prvočíslom.

 Geometria

• Eulerova priamka

• Eulerova kružnica

 Teória grafov

V roku 1736 Euler vyriešil problém známy ako Sedem mostov Königsbergu. Pruské mesto Königsberg, bolo postavené na rieke Pregol a zahŕňalo dva veľké ostrovy, ktoré boli aj s pevninou navzájom poprepájané siedmimi mostmi. Problémom bolo rozhodnúť, či je možné sledovať cestu, ktorá prechádza každým mostom práve raz a vrátiť sa do východiskového bodu. Nedá sa: nie je tam Eulerova kružnica. Toto riešenie sa považuje za prvú vetuteórie grafov, konkrétne v teórii planárnych grafov.

Euler objavil aj vzorec V − E + F = 2, týkajúci sa počtu vrcholov, hrán a stien konvexného mnohostena, a teda rovinného grafu. Konštanta v tomto vzorci je teraz známa ako Eulerova charakteristika pre graf (alebo iný matematických objekt) a je spojená s rodom objektu. Štúdium a zovšeobecnenie tohto vzorca, konkrétne Cauchym a L'Huillierom, je na začiatku topológie.

 Aplikovaná matematika

Niektoré z Eulerových najväčších úspechov boli v analytickom riešení problémov zo života a v popisovaní početných aplikácií Bernoulliho čísel, Fourierovho radu, Vennových diagramov, Eulerových čísel, konštánt e a π, reťazových zlomkov a integrálov. Spojil Leibnizov diferenciálny počet s Newtonovou Metódou fluxií a vyvinul prostriedky, ktoré uľahčili zavedenie tohto počtu do problémov fyziky. Urobil veľký pokrok vo vylepšovaní numerickej aproximácie integrálov, vynašiel aproximácie, ktoré sú teraz známe ako Eulerove aproximácie. Najpozoruhodnejšími z týchto aproximácií sú Eulerova metóda a Eulerov-Maclaurinov vzorec. Taktiež uľahčil použitiediferenciálnych rovníc predovšetkým zavedením Eulerovej-Mascheroniho konštanty:

.

Jedným z ďalších nezvyčajných záujmov Eulera, bola aplikácia matematických myšlienok v hudbe. V roku 1739 napísal Tentamen novae theoriae musicae, dúfajúc, že napokon zahrnie hudobnú teóriu ako súčasť matematiky. Táto časť jeho práce však nezískala širokú pozornosť a bola charakterizovaná ako príliš matematická pre hudobníkov a príliš muzikálna pre matematikov.

 

Eukleides z Alexandrie /z Kyrény/z Kýrény

(iné názvy: Eukleidés z Alexandrie/..., Euklides z Alexandrie/..., Eukleidas z Alexandrie/..., Eukleidás z Alexandrie/...; starogr.Εὐκλείδης – Eukleides/iný prepis Eukleidés, lat. Euclides; asi 365 pred Kr. – 300 pred Kr.), najčastejšie známy ako Euklides, bol starogrécky matematik.

Je autor diela Základy (Στοιχεῖα/Stoicheia, lat. Elementa), v ktorom spresnil deduktívne chápanie matematiky, založené na definíciách, všeobecných pojmoch, t. j. na súhrne princípov, ktoré dnes označujeme ako axiómy, a na vzájomne od seba nezávislých postulátoch. Z Euklidových postulátov je najznámejší posledný, piaty, že bodom v rovine možno viesť len jednu rovnobežku k danej priamke: mnohí sa totiž tento postulát pokúšali odvodiť z predchádzajúcich.

Celé dielo Základy pojednáva o rovinnej geometrii, teórii čísiel a priestorovej geometrii (vrátane Platónových piatich pravidelných telies). Toto chápanie geometrie bez námietok platilo až do 19. storočia.

 

Pierre de Fermat

 

(* 17. august 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francúzsko – † 12. január 1665, Castres) bol francúzsky matematik.

Hoci bol vo vede amatér (občianske povolanie - právnik), zaslúžil sa o rozvoj matematiky v niekoľkých oblastiach:

• Teória čísel – patrí k spoluzakladateľom odboru v jeho modernej podobe a získal niekoľko dôležitých poznatkov. Známa je predovšetkým tzv. Veľká Fermatova veta. Tú dokázal až Andrew Wiles roku 1994. Fermat tvrdil, že jej dôkaz pozná. Pravdepodobne sa však mýlil, pretože všetky pokusy o jednoduchý dôkaz stroskotali, zatiaľ čo Willesov dôkaz predpokladá obrovské množstvo poznatkov získaných až v priebehu 19. a 20. storočia.

• Teória pravdepodobnosti – spolu s Pascalom sa považuje za spoluzakladateľa odboru, ktorý zahájili úvahami o pravdepodobnosti výhry v hazardných hrách.

• Matematická analýza a analytická geometria – objavil okrem iného metódu hľadania extrému krivky, ktorá je priamym predchodcom neskorších výsledkov diferenciálneho a integrálneho počtu.

 

Leonardo Pisano

 

alebo Leonardo z Pisy (* cca 1175, Pisa – † 1250) bol taliansky matematik známy pod svojou posmrtnou prezývkou Fibonacci.

Leonardovho otca Giulielma (Viliama) prezývali Bonacci(o) (dobrák) a Leonardo po ňom dostal prezývku Fibonacci (lat. filius Bonacci, Bonacciho syn). Sám používal tiež prezývku Bigollo,Bigollone, Bigolius (po toskánsky cestovateľ, vandrák).

 Dielo

Leonardo z Pisy je známy hlavne tým, že je po ňom pomenovaná tzv. Fibonacciho postupnosť čísel, aj keď ju pravdepodobne objavili už predtým indickí matematici. Tiež pomohol do Európy zaviesť modernú pozičnú desiatkovú sústavu. Fibonacci sa oboznámil s arabskou číselnou sústavou, keď ako mladý chlapec cestoval so svojím otcom obchodníkom do Alžírska. Fibonacci spozoroval, že arabská číselná sústava je lepšia ako rímska. Do roku 1200 cestoval krajinami okolo Stredozemného mora a študoval s významnými arabskými matematikmi. V roku 1202, keď mal 27 rokov, spísal svoje poznatky v knihe Liber Abaci (Liber Abbaci), „Kniha výpočtov“. V tejto knihe demonštroval praktické použitie novej číselnej sústavy v účtovníctve, prevody jednotiek hmotnosti a dĺžky, výpočet úrokov a iné aplikácie. Text knihy začína nasledovne:

Toto je deväť číslic Indov: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Týmito číslicami, ako aj znakom 0, ktorý sa v arabčine nazýva 'zefirum' ('sifr'), môžeme zapísať ktorékoľvek číslo, ako ukážeme;

Kniha mala dobrý ohlas medzi európskymi učencami, aj keď desiatková sústava sa nerozšírila až do vynálezu tlače o tri storočia neskôr.

 

(Johann) Carl Friedrich Gauß

 

(lat. forma mena Carolus Fridericus Gauss) (* 30. apríl 1777, Braunschweig – † 23. február 1855, Göttingen) bol jeden z najväčších matematikov a fyzikov všetkých čias. Zaoberal sa teóriou čísel, matematickou analýzou, geometriou, geodéziou, magnetizmom, astronómiou a optikou.

Od roku 1807 Gauß pôsobil ako profesor astronómie a riaditeľ hvezdárne v Göttingene. V júni 1801 sa Gauß rozhodol predpovedať dráhu planétky Ceres, ktorá bola pozorovaná iba na deviatich stupňoch celej dráhy, skôr ako zmizla za Slnkom. Keď Wilhelm Matthias Olbers planétku Ceres znovu objavil, bola presne tam, kde ju Gauß predpovedal. Gauß pre výpočet jej dráhy použil svoju novú aproximačnú metódu tzv. metódu najmenších štvorcov. To zabezpečilo Gaußovi veľkú popularitu a úctu.

Gaußovo vedecké dielo je veľmi rozsiahle – v matematike sa preslávil aj svojimi výskumami v oblasti štatistiky a pravdepodobnosti (tzv. Gaussova krivka ako základné rozloženie pravdepodobnosti), tiež sa zaoberal matematickou analýzou (napr.: teória dvojitého a trojitého integrálu) či funkciami komplexnej premennej a teóriou čísel.

V geometrii bol Gauß tým, kto ako prvý odhalil nedostatky v euklidovskej geometrii – zmenou piatej Euklidovej axiómy objavil princípy hyperbolickej geometrie (jedna z geometrií zakriveného priestoru), aj keď tieto svoje objavy nikdy počas svojho života nezverejnil.

 

Gaspard Monge

 

(* 9. máj 1746, Beaune, Côte-d’Or, Francúzsko – † 28. júl 1818, Paríž, Francúzsko) bol francúzsky matematik. Je považovaný za zakladateľa deskriptívnej geometrie. Počas Francúzskej revolúcie pôsobil aj ako politik, od roku 1792 bol ministrom námorníctva. Jeho meno sa nachádza medzi 72 menami vedcov na Eiffelovej veži.

 

Deskriptívna geometria je odvetvie matematiky zaoberajúce sa zobrazovaním trojrozmerného priestoru do roviny. Poskytuje metódy, ktoré umožňujú dosiahnuť jednoznačnosť týchto zobrazení. Základnou metódou je premietanie.

 

Táles

(alebo Thales, Thalés) z Miléta/z Milétu/Míléta/Mílétu; (starogr. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; * cca 624 pred Kr. – † cca 546 pred Kr.) bol starogrécky presokratický filozof, matematik,astronóm, štátnik a inžinier, prvý predstaviteľ milétskej školy.

Podľa Demokrita boli rodičia Tálesa Examys a Kleobula potomkami mýtického zakladateľa Théb Kadma a pochádzali z Fenície. Táles zomrel ako 78-ročný (podľa Sosikrata až ako 90-tnik).

Jeho vedecké zásluhy spočívajú predovšetkým v tom, že s poznatkami východnej resp. orientálnej vedy oboznámil Grékov. Pre svoju bohatú erudíciu i schopnosti bol začlenený ako prvý medzi tzv. siedmimi mudrcmi. Podľa Bertranda Russella s Tálesom filozofia začína svoje dejiny.

Geometria

Množinou vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov je kružnica k s priemerom AB okrem bodov A, B. Kružnicu nazývame Tálesova kružnica

Tálesova veta - Vrcholmi pravých uhlov AXB sú body X kružnice k s priemerom AB (s výnimkou bodov A, B) a nijaké iné.

 

François Viète

 

(* 1540, Fontenay-le-Comte, Francúzsko – † 23. február 1603, Paríž) bol francúzsky matematik, povolaním právnik. Záujem o astronómiu ho priviedol k tomu, že sa začal zaoberať trigonometriou a algebrou.

Algebra sa v prácach F. Vièta stáva všeobecnou vedou o algebrických rovniciach, založenou na písmenovom kalkule. V roku 1591 Viète po prvý raz zaviedol písmenové označovanie nielen neznámych veličín, čo sa ostatne dialo už aj pred ním, ale aj pre dáta, t. j. pre koeficienty rovníc. To po prvý raz umožnilo vystihnúť vlastnosti rovníc a ich koreňov pomocou všeobecných formúl a samotné algebrické výrazy sa stali objektmi, s ktorými bolo možné uskutočňovať operácie.

 

 

Zdroj: www.wikipedia.sk