Matematika

• • • O predmete
    • ŠkVP
    • Zaujímavosti
    • Slávni matematici
    • Matematika 5
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9

• • • • Zaujímavosti

      • Dokonalé čísla

        Dokonalé číslo je prirodzené číslo a, ktorého súčet všetkých jeho deliteľov d1, d2, d3, ........dn sa rovná dvojnásobku daného dokonalého čísla a.

        2a = d1 + d2 + d3 +.........+dn

        Najmenšie dokonalé číslo je a = 6. Toto číslo je deliteľné číslami 1,2,3,6

        2.6 = 1+2+3+6

        Ďalšie dokonalé číslo je 28. Je deliteľné číslami 1,2,4,7,14,28

        2.28 = 1+2+7+14+28

        Dokonalými číslami sa zaoberal aj najväčší starogrécky matematik Euklides (365 – 300 p.n.l.). V 10. knihe svojich Stocheia (Základy) uvádza vzorec pre výpočet dokonalých čísiel:

        a = 2^n-1(2ⁿ – 1) kde n a (2ⁿ – 1) sú prvočísla

        n = 2 : a = 2¹(2² – 1) = 2.3 = 6

        n = 3 : a = 2²(2³ – 1) = 4.7 = 28

        n = 4 : a = 2³(2⁴ – 1) = 8.15 = 120 , 120 nie je dokonalé číslo, lebo 4 a15 nie sú prvočísla

        n = 5 : a = 2⁴(2⁵ – 1) = 16.31 = 496

        n = 7 : a = 2⁶(2⁷ – 1) = 64.127 = 8128

        V súčasnosti poznáme 26 dokonalých čísiel pre exponent n = 2,3,5,7,13,17,19, 31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213, 19937,21701,44497. (Sú to prvočísla.) Všetky doteraz známe dokonalé čísla sú párne.

        Najväčšie doteraz známe dokonalé číslo je a = 2⁴⁴⁴⁹⁶(2⁴⁴⁴⁹⁷– 1).

        Spriatelené čísla

        
         

        Dve čísla M a N sa nazývajú „spriatelené“ (spriaznené), ak každé z nich sa rovná súčtu pravých deliteľov druhého čísla. (Medzi pravé delitele prirodzeného čísla nepatrí toto prirodzené číslo). N = 220 a N = 284 tvoria dvojicu spriatelených čísiel.

        Pravé delitele čísla 220 = (1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110)

        Pravé delitele čísla 284 = (1,2,4,71,142)

        220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

        284 = 1+2+4+71+142 = 220

        Arabský matematik Abul – Hasan Thábit ibn Qurra as – Sábí al Harrání (830 – 901) dokázal:

        Ak p = 3.2ⁿ-1, q = 3.2^n-1-1, r =9.2^2n-1-1 (n = 2,3,4,5...) sú prvočísla, potom M = 2ⁿp.q a M = 2ⁿr sú spriatelené čísla.

        n = 2, p = 11, q = 5, r = 71, M = 2².11.5 = 220, n = 2².71 = 284

        n = 3, M a N neexistujú

        n = 4, p = 47, q = 23, r = 1151 M = 2⁴.47.23 = 17296, N = 2⁴.1151 = 18416

        n = 7, M = 9 363 584, N = 9 437 056

        3 census

        Iste by vás prekvapilo, keby ste v súčasnej učebnici matematiky našli takýto zápis:

        3 census et 6 demptis 5 rebus aequatur zero

        Je to zápis kvadratickej rovnice, ako ju zapísal na začiatku 15. storočia Johan Múller zvaný Regiomontanus (1436 – 1476)

        Tú istú rovnicu zapísal na konci 15. storočia františkánsky mních a taliansky matematik Luca Pacioli (asi 1445 – asi 1514) takto:

        3 census p. 6. de 5 rebus ae 0

        Velikán francúzskej matematiky Francois Viete (1540 – 1603) si ešte vypomáhal slovami a rovnicu napísal takto:

        3 in Apad – 5 in Aplano + 6 aequatur 0

        O niečo jednoduchšie zapísal rovnicu holandský matematik Simon Stevin (1548 – 1620):

        3₂ – 5₁ + 6 = 0

        René Descartes (1596 – 1650) zapísal v roku 1637 rovnicu takto:

        3x² – 5x + 6 = 0

        Reč matematiky sa dlho a ťažko rozvíjala. Neexistoval jednotný spôsob zápisu matematických úloh. Každý matematik v svojich prácach zavádzal vlastné značky a slová, hlavne z latinčiny. Neznáma sa označovala slovom „rebus“, druhá mocnina „census“, tretia „cubus“. Namiesto odmocniny sa písal „radix“ (koreň). „Aequatur“, v skratke „ae“ znamenalo „rovná sa“. Sčítanie „plus“ a odčítanie „minus“ sa zachovali dodnes. Pre súčet sa tiež používala spojka „et“.

        
         

        Symboly v matematike

        
         

        Do 15. storočia neexistovala jednotná matematická symbolika. Všetky vety, poučky, rovnice a úlohy sa mohli vyjadriť jedine slovne. Na začiatku algebraickej symboliky stál Johann Widmann (15.stor.). V jeho práci z roku 1489 sa prvý krát objavujú symboly +, – .Tieto symboly boli známe už predtým. Kupci nimi označovali vrecia s tovarom, aby naznačili, či hmotnosť vreca nedosahuje alebo presahuje určenú hmotnosť. Christoff Rudolff (1500 – 1545) v roku 1525 označil druhú odmocninu V a tretiu VV. Taliansky matematik Luca Paciolli (1448 – 1514) označil druhú odmocninu Rx2, tretiu Rx3. Pre súčet zavádza označenie p~ a pre rozdiel m~ . Nepoužíva zátvorky ..

        Francúz Nicolas Chuquet (? – 1500) v svojom diele Veda o číslach (1484) používa záporné celé čísla a záporné exponenty v tvare 52m = 5–2 Druhú odmocninu označuje Rx2, tretiu Rx3. Miesto zátvoriek výraz podčiarkuje

        

        Nicole Oresme (1323 – 1382) v svojom diele Algoritmus proportionum, ktoré vyšlo tlačou až v roku 1500 zavádza lomený exponent. Napríklad 8 zapisuje:

        

        Treba ešte dodať, že zlomkovú čiaru používal už začiatkom 13. storočia L. Fibonacci (1170 – 1250) Dve rovnobežné čiary = ako symbol „rovná sa“ použil ako prvý maurský matematik Abdul Alkasadi ( 15.stor.). Zátvorky do matematiky zaviedol v r. 1629 Albert Girard (1590 – 1633). Symbol X pre násobenie prvý písal v roku 1631 anglický matematik William Oughtred. Boloňský matematik Rafael Bombelli (1530? – po1572) sa už v 16. storočí zaoberal odmocninami so záporného čísla. Číslo 2i chápe ako Veľkú zásluhu na rozvoji matematickej symboliky má francúzsky matematik Francois Viéte (1540 – 1605). Do rovníc zaviedol písmená abecedy, ktoré zastupovali neznáme a premenné veličiny. O rozvoj matematickej symboliky sa zaslúžili René Descartes (1596 – 1650), ktorý ako tvorca analytickej geometrie aplikoval algebru na geometriu. I. Newton (1643 – 1720), G.F. Leibniz (1646 – 1716) a L. Euler (1707 – 1783) vytvorili symboliku pre diferenciálny a integrálny počet.

        
         

        Prvá učebnica matematiky z pera Slováka

        
         

        Na hodinách matematiky sa často spomínajú mená Archimedes, Euklides, Pytagoras, Newton a ďalší. Vtedy sa žiaci často opýtajú: „A čo Slováci? Tí ako prispeli do bohatej pokladnice matematických vedomostí?“

        Je zaujímavé, že autor prvej učebnice matematiky je známy. V 16. storočí neboli na území Slovenska žiadne možnosti vyššieho vzdelávania. Preto mladí ľudia odchádzali študovať do cudziny. V Prahe natrvalo zostal napríklad Vavrinec Benedikti (1555 – 1615) z Nedožier, od roku 1603 profesor matematiky a klasickej filológie na univerzite v Prahe. Slovák, známy ako jazykovedec, literárny teoretik, básnik, prekladateľ, pedagóg a školský reformátor. Do povedomia verejnosti sa dostal latinsky napísanou „Gramatikou českého jazyka“. Pre svojich študentov napísal a vydal dielo „Elementa Aritmeticae“ „Základy aritmetiky“. Je to prvá matematická práca, ktorej autorom je Slovák.

        
         

        Zlatý rez

        
         

        Učiteľ požiadal žiakov, aby z predložených obdĺžnikov s rôznymi rozmermi vybrali ten najkrajší. Skoro všetci žiaci vybrali ten istý obdĺžnik. Ako je to možné?

        Rozmery „najkrajšieho“ obdĺžnika boli v pomere „zlatého rezu“. Zlatý rez poznal už grécky matematik Euklides (365 – 300 p.n.l.) a definoval ho takto: „Rozdeliť úsečku zlatým rezom na dve časti znamená rozdeliť ju tak, aby pomer väčšej časti k menšej časti úsečky bol rovnaký, ako pomer celej úsečky k väčšej časti“.

        Dĺžka celej úsečky = 1

        Dĺžka väčšej časti = τ

        Dĺžka menšej časti = 1 – τ

        

        Teda najkrajší obdĺžnik mal rozmery a = 1 a b = 0,618 (alebo prirodzené násobky týchto čísiel). Obrázky v ktorých sa vyskytuje zlatý rez sa väčšine ľudí páčia. Zlatý rez nájdeme v architektúre, maliarstve, v proporciách ľudského tela . Podľa L. da Vinciho dokonalé ľudské telo sa v páse delí podľa pomeru zlatého rezu. V dielach geniálneho rakúskeho skladateľa W. A. Mozarta boli nájdené frekvencie tónov v akorde, ktoré sú v pomere 1 : 0,618. Prečo je zlatý rez taký populárny? Súvisí to s činnosťou ľudského mozgu pri procese pozorovania a vnímania. Pri pozorovaní predmetov, ktoré obsahujú pomery zlatého rezu, elektrické signály vznikajúce v mozgu, nachádzajú priaznivú odozvu. Mozog reaguje pozitívnym pocitom sympatií.

        
         

        Zlatý rez a Fibonacci

        
         

        Rozdeliť úsečku v pomere zlatého rezu, znamená rozdeliť ju v pomere 1 : 0,618. Číslo τ sa nazýva „zlaté číslo“. Je to iracionálne číslo. Vypočítané na osem desatinných miest je τ = 0,61803398..... Toto číslo má dve zaujímavé vlastnosti:

        Prvá vlastnosť:

        
        
         

        Druhá vlastnosť:

        Taliansky matematik L. Pisanský – Fibonacci (1170 – 1250) vytvoril postupnosť prirodzených čísiel, nazvanú po ňom. Fibonnacciova postupnosť je postupnosť prirodzených čísiel, v ktorej nasledujúci člen (okrem prvých dvoch) sa rovná súčtu dvoch bezprostredne predchádzajúcich členov.

        1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,989,.............n

        Pomer dvoch za sebou idúcich členov Fibonnacciovej postupnosti sa so zväčšujúcim n približuje k τ

        
        
         

        
         

        
         

        Rímske číslice

        
         

        Najstaršími číslicami, ktoré Rimania používali ešte v dobe pred poznaním abecedy boli znaky I = 1 (natiahnutý prst), V = 5 (otvorená dlaň), X = 10 ( dve otvorené dlane). Svoju abecedu prevzali Rimania od Etruskov asi v 7. storočí pred n.l. Symboly, ktoré nepoužili v svojej latinskej abecede, použili na označenie čísloviek. . Postupným vývojom znaku .

        Etruský symbol О sa čítal „theta“ a vzniklo z neho C pre číslicu 100. Tento symbol súvisí tiež s latinským slovom „centum“, ktoré znamená tiež 100. Číslica 1000 sa označovala Ф, alebo písmenom M od latinského slova „mille“ tisíc .

        Rozpoltením symbolu Ф = 1000 vznikol symbol D = 500. Iné hodnoty sa vytvárali skladaním základných znakov. Postupovalo sa tak, že znaky postavené za vyššou číslicou sa pričítali VI = 5+1 = 6. Znaky postavené pred vyššou číslicou sa odčítali IX = 10-1 = 9. Ak číselný znak bol v zátvorke, znamenal desaťkrát väčšiu hodnotu (M) = 10 000, ak v dvoch zátvorkách, stokrát väčšiu hodnotu ((D)) = 50 000. Polovice sa označovali prečiarknutím číslice ł =0,5 Starí Rimania nepoznali nulu, teda ani znak pre nulu.

        
         

        Ludolfovo číslo v staroveku

        
         

        Každý žiak alebo študent sa veľakrát stretol s úlohou vypočítať dĺžku kružnice, obsah kruhu, objem a povrch gule atď. Pri takýchto úlohách sa vyskytuje Ludolfovo číslo π, ktoré vyjadruje pomer dĺžky kružnice k jej priemeru. Číslo π je iracionálne číslo, čo znamená, že sa nedá vyjadriť ako podiel dvoch celých čísiel. Napriek tomu sa v histórii matematiky veľa matematikov o to pokúšalo. Číslo π je transcendentné, čo znamená, že nie je riešením algebraickej rovnice s racionálnymi koeficientami.

        Ludolfovo sa nazýva na počesť Holanďana Ludolfa van Ceulena (1540 - 1610), ktorý toto číslo v roku 1596 vypočítal na 35 desatinných miest.

        Označenie π zaviedol anglický matematik William Jones (1675 – 1749) ako prvé písmeno slova „periphery“-obvod. Celosvetové uznanie dosiahlo označenie π až vtedy, keď ho začal v svojich dielach používať význačný matematik 18. storočia L. Euler (1707 -1783)

        V celej histórii matematiky sa pre číslo π používali rôzne hodnoty. My si všimneme len niekoľkých prípadov. Pri archeologických vykopávkach v Babylone sa našla hlinená doštička pochádzajúca z doby asi 2000 rokov pred n.l. s klinopisným zápisom :

        π = 3,125

        Okolo roku 1650 pred n.l. Egyptský pisár Ahmóse spísal na papyruse prvú učebnicu algebry a geometrie. Papyrus je známy ako Rhindov papyrus podľa jeho škótskeho majiteľa, ktorý ho objavil v roku 1858 v chráme faraóna Ramsesa II. v Tébach. Na začiatku papyrusu autor charakterizuje matematiku ako „návod ako dosiahnuť znalosti o všetkých tajných veciach .....o všetkých tajomstvách, ktoré v sebe skrývajú veci.“

        Nájdeme tu i zaujímavý návod na výpočet obsahu kruhu: „Chceš vedieť obsah kruhu? Odmeraj vzdialenosť od jedného kraja kruhu ku druhému. Od tejto vzdialenosti odčítaj jej devätinu. Číslo ktoré dostaneš vynásob ešte raz tým istým číslom. Výsledok ti dá obsah tvojho kruhu.“ Preložené do dnešnej symboliky návod na výpočet obsahu kruhu je:

        

        Aj v Biblii nájdeme zmienku o čísle π. V Prvej knihe kráľov v 7. kapitole, 23 verši sa o vodnej nádobe v Šalamúnovom paláci v Jeruzaleme píše: “Potom urobili more z liatiny, desať lakťov od jedného okraja k druhému, dookola okrúhle, päť lakťov vysoké; dookola ho mohla obopäť tridsaťlakťová stuha.“ Z textu vyplýva π = 3.

        
         

        Ludolfovo číslo–rekordy

        
         

        V histórii Ludolfovho čísla je zaujímavé sledovať s akou presnosťou sa podarilo jednotlivým matematikom určiť aspoň približne jeho hodnotu. L. van Ceulen ju určil na 35 desatinných miest v roku 1596. Sharp na 72, Machin na 100, De Lagny na 140 desatinných miest. W. Shanks určil π na 707 desatinných miest, čo je bez počítačov obdivuhodný výkon. Pracoval na tom 20 rokov. Prácu ukončil v roku 1874. Ďalším matematickým supermozgom bol Nemec J.M.Z. Dase (1824 – 1861), ktorý za dva mesiace vypočítal 200 správnych desatinných miest. V roku 1945 Ferguson zisťuje, že Shanksov výpočet z roku 1874 je od 527 miesta nesprávny. Sám pomocou kalkulačky v roku 1947 zistil 808 správnych desatinných miest.

        Prvý krát boli počítače použité na výpočet Ludolfovho čísla v roku 1949. Vtedy počítač ENIAC určil 2037 správnych desatinných miest. Rekord drží tým vedcov z Univerzity Simona Frasera v kanadskej Britskej Kolumbii, ktorí na superpočítači odvodili Ludolfovočíslo na 1241 miliárd desatinných čísiel.

        Aký význam má zisťovanie Ludolfovho čísla na miliardy desatinných čísiel? Prakticky žiadny! Ide o rekordy. Ale tabuľky obsahujúce číslo π umožňujú porovnávať jednotlivé spôsoby výpočtu, hľadať prípadné chyby vo výpočte alebo zisťovať periodicitu čísiel v desatinnom rozvoji. (Doteraz sa nenašla)

        Bežne sa pamätá Ludolfovo číslo na dve desatinné miesta π = 3,14. Usilovnejší si pamätajú π = 3,14159. Neuveriteľných 100 000 číslic si vraj pamätá Japonec Akira Haraguši. Televízia Markíza odvysielala dňa 30. mája 2008 reportáž. V reportáži 14 ročný žiak ZŠ v Banskej Bystrici Tomáš Kostiviar napísal na tabuľu 300 číslic čísla π spamäti.

        Zdroj: www.priklady.eu